剩下的牌怎麼改變百家樂機率？用 20 張牌做一個思想實驗
上一篇我舉了一個很極端的例子。牌靴只剩 20 張，全部是 10、J、Q、K，下一手只可能開和。
你可能會想，真正的牌靴哪會長這樣。
說得對。所以這次換成真的可能出現的牌，看看會發生什麼事。
牌不記得路，但牌會被用掉
銅板沒有記憶。連丟十次正面，下一次還是一半一半，因為它從頭到尾都是同一枚銅板。
牌靴不一樣，差在一個小地方。每發出一張牌，那張牌就不見了，要等到下一靴才會回來。所以發了 100 張之後的牌靴，已經跟一開始的牌靴有一點點不同。
路單記錄的是發生過什麼，剩下的牌記錄的是還有什麼。會影響下一手的，只有後者。
整個概念就這樣。這篇剩下的部分，是在算這個影響到底有多大。
同樣 20 張牌，可以是兩種完全不同的局面
先準備 20 張小牌，A、2、3、4 各 5 張。
如果牌靴裡只剩下這 20 張，數字會變得很怪。閒贏的機率是 47.64%，莊只剩 30.15%。平常稍微比較有利的莊，這時候直接被甩在後面。
欸，真的假的？我把其他幾種 20 張的組合也一起算了。下表的數字都是一張一張精確算出來的，用標準補牌規則。
| 莊 | 閒 | 和 | |
|---|---|---|---|
| 完整 8 副牌（416 張） | 45.86% | 44.62% | 9.52% |
| 剩 20 張，全是 0 點（10、J、Q、K） | 0.00% | 0.00% | 100.00% |
| 剩 20 張，A、2、3、4 各 5 張 | 30.15% | 47.64% | 22.21% |
| 剩 20 張，8 和 9 各 10 張 | 31.73% | 31.73% | 36.53% |
| 剩 20 張，點數分布接近整靴 | 45.93% | 44.46% | 9.61% |
看最後一行。20 張牌如果點數分布跟整靴差不多，算出來的機率也幾乎跟整靴一樣。
重點不是剩幾張，而是剩哪些。
那為什麼打一整靴，好像什麼都沒變？
現在把同樣那 20 張小牌，改成從一整副全新的 8 副牌裡拿掉。牌靴還剩 396 張。
莊從 45.86% 變成 45.94%，就這樣而已。下面是從整靴裡拿掉不同種類的 20 張牌之後的結果。
| 莊 | 閒 | 和 | |
|---|---|---|---|
| 沒有拿掉任何牌 | 45.86% | 44.62% | 9.52% |
| 拿掉 20 張 0 點牌 | 45.81% | 44.55% | 9.64% |
| 拿掉 A、2、3、4 各 5 張 | 45.94% | 44.56% | 9.49% |
| 拿掉 8 和 9 各 10 張 | 45.73% | 44.58% | 9.69% |
| 拿掉 20 張 5、6、7 | 45.85% | 44.82% | 9.32% |
每一種變化都不到 0.25 個百分點。
我是讀生化的，看到這裡第一個想到的是濃度。一匙鹽倒進一杯水，很鹹。同一匙鹽倒進游泳池，你根本喝不出來。
前半靴的每一張牌，是倒進游泳池的那匙鹽。靴尾的每一張牌，是倒進杯子裡的那匙鹽。
這代表什麼，又不代表什麼
它代表百家樂真正的資訊在剩下的牌裡，不在路單畫出來的圖案裡。路單到底在做什麼，我上一篇寫過。
它不代表你能看見未來。就算機率動了，它還是機率，下一手照樣可能開任何一邊。大部分的牌靴、大部分的時候，變化都像第二張表那麼小。期望值是長期平均，不是對下一手的保證。
我就是想親眼看到這些數字怎麼動，才做了百家樂手冊。你把發出來的牌輸入進去，它會重算剩下的牌組。它不會告訴你下一手開什麼，只會讓你看到現在的數字在哪裡。
如果想先搞懂莊、閒、和各自的長期優勢是怎麼來的，可以看這篇。
自己做一次 20 張牌的實驗
百家樂手冊在 App Store 免費下載。一張一張把牌輸入進去，看剩下的牌能把莊、閒、和推動多少。每輸入一張牌就即時重算，還可以用虛擬點數練習，完全不涉及真錢。
把這篇的小牌牌靴輸入看看，你也會算出 47.64%。
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FAQ
1. 百家樂剩下的牌真的會影響機率嗎？
會。牌發出去就不會放回牌靴，所以每一張牌離開，剩下的組成就跟著變。整靴的時候每張牌的影響很小，只剩幾十張的時候影響可能大很多。
2. 記錄發出的牌，跟看路單是一樣的事嗎？
不一樣。路單記錄的是哪一邊贏，記牌記錄的是哪些點數已經發掉了。只有後者會改變下一手的數學。
3. 機率變了，是不是就比較容易贏？
不是。變動後的機率仍然只是機率。期望值是長期平均，任何一手都還是可能輸。
【免責聲明】百家樂手冊是純數學工具，不提供真金博弈，限 21 歲以上。
